Geometrisk följd
En geometrisk följd är en talföljd där kvoten mellan ett element och det närmast föregående är konstant.
För att beräkna talet med ordningsnumret n används formeln:
där q är kvoten.
Om kvoten är negativ, så oscillerar funktionen mellan positiva och negativa tal.
Exempel på geometrisk talföljd
I detta exempel är kvoten q&#;=&#;2 och det första talet a1&#;=&#;1.
Summan
Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd med kvoten kan beräknas genom
För en geometrisk serie gäller att den konvergerar om .
Geometrisk talföljd
Du behöver inga speciella förkunskaper för detta moment.
Så fungerar det - En talföljd är precis som det låter, en följd av olika tal. Det som är speciellt för just en geometrisk talföljd är att om man dividerar ett tal med det föregående talet så erhåller man en kvot - denna kvot är densamma genom hela talföljden. Man brukar säga att en talföljd skall innehålla minst fem stycken element, annars finns det för många olika alternativ på n:te element att välja mellan. Talföljdens olika element indexeras med ett nummer, om vi kollar på exemplet nedan.
8, 12, 18, 27,
Så är exempelvis det andra elementet, a2=
Hur vet vi då att det är en geometrisk talföljd? Jo, samtliga av dessa tal delar nämligen kvot,
Formeln för det n:te elementet i en geometrisk talföljd skrivs som
$a_{n}=a_{1} \cdot k^{n-1}$
Det enda vi behöver för att kunna hitta vilket tal vi vill i denna serie, är starttalet $a_{1}$ och kvoten $k$
Summan av en serie med olika tal i en geomet
Geometrisk summa
Detta avsnitt är enbart en del av kursen Matte 3b, läser du 3c är du ändå välkommen att läsa, kolla, räkna och utforska vid intresse.
I Matte 1 lärde vi oss om att upptäcka mönster, talföljder och generella samband. Talföljder är siffror, som i detta sammanhang kallas element, i en ordning som oftast följer en bestämd regel. Vi tar en kortare repetition.
Oftast använder vi \(n\) för att beskriva figurens nummer eller plats i följden och \(a_i\) används för elementets index. Om vi har en talföljd som ökar med samma nummer varje gång kallas denna differens och betecknas med d. En talföljd kan då beskrivas med en rekursiv formel så som denna:
$$a_{n+1} = a_n +d$$
som då visar att varje tal i talföljden består av det föregående talet med differensen adderat.
I detta avsnitt ska vi gå vidare till geometriska talföljder, där vi går från att elementen ökar eller minskar med lika mycket.
Geometrisk talföljd
I en geometrisk talföljd multipliceras varje element med samma tal. Eftersom vi kan hitta detta tal genom att dividera två efterföljande element så kallas den kvoten och betecknas också därför oftast med k. Vi tittar direkt på ett exempel på en geometrisk tal
Geometrisk talföljd
Pluggakuten
Hoppa till: navigering, sök
En geometrisk talföljd är en talföljd där kvoten mellan två efterföljande tal alltid är konstant.
- Talföljden 1, 2, 4, 8, … är ett exempel på en geometrisk talföljd
vars kvot är 2. Den generella formeln för en geometrisk talföljd är
där betecknar den n:te termen i talföljden och betecknar den första termen i talföljden och betecknar kvoten mellan två efterföljande tal.
För exemplet 1, 2, 4, 8, … är och kvoten . Uttrycket för den n:te termen i denna talföljd är därför
- .
En geometrisk talföljds summa
Låt beteckna summan av de n första elementen i en geometrisk talföljd;
Då gäller det att:
Om kvoten är sådan att så konvergerar summan då antalet termer, n, växer; detta innebär att om man summerar ett oändligt antal termer så får man ett bestämt värde:
Exempel på uträkningar
Exempel: En geometrisk talföljd är 4, 12, 36, … Bestäm den 6:e termen i talföljden.
Lösning: Vi bestämmer först ett uttryck för den n:te termen i talföljden. Den första termen är 4 och den gemensamma kvoten är 3. Alltså har vi att:
Den 6:e termen blir därför:
.